Como ensinar análise combinatória? Será que basta saber a tabuada para resolver um problema conforme o exemplo abaixo?

Numa festa, estão 3 moças e 4 rapazes. Quantos casais diferentes são possíveis formar para a dança? 

Nós, professores, precisamos compreender os processos matemáticos que alicerçam o raciocínio multiplicativo e, em muitos espaços, nos deparamos com a terminologia “análise combinatória” para identificar esse tipo de problema.

Segundo Gérard Vergnaud (2009, p. 253), “essa forma de relação consiste em uma relação ternária entre três quantidades, das quais uma é o produto das duas outras ao mesmo tempo no plano numérico e no plano dimensional”.

Essa relação multiplicativa denominada por “produto de medidas” tem um forte apelo geométrico que se materializa pela representação, ou seja, pela forma como as crianças organizam o pensamento. Vejamos um exemplo:

Inicialmente, as crianças são representadas por meio de desenhos ou outras notações, para depois realizar a contagem. 

Como podemos perceber na explicação de Vergnaud, não é uma relação correspondente ao raciocínio multiplicativo com a adição de parcelas iguais, nem tão pouco uma relação quaternária envolvendo a proporcionalidade, pois aqui temos duas medidas: moças e rapazes, e o produto gerado é a combinação.

Para exemplificar, a habilidade está descrita na BNCC como a capacidade de “resolver, com o suporte de imagem e/ou material manipulável, problemas simples de contagem, como a determinação do número de agrupamentos possíveis ao se combinar cada elemento de uma coleção com todos os elementos de outra, utilizando estratégias e formas de registro pessoais”.

O desenvolvimento desse raciocínio requer a experimentação, e as crianças gostam muito dessa vivência quando problematizada; então, vamos ver possibilidades?

ATIVIDADE 1 sobre Análise Combinatória

Orientações didáticas

os estudantes, em grupo, devem definir os tipos de lanche: pães e recheios. Em seguida, devem discutir as possibilidades de combos, registrando os procedimentos adotados. 

Geralmente, as crianças fazem uso de desenhos para as combinações possíveis, muitas vezes, interligando os elementos. 

Na socialização das produções, garanta que expliquem se todas as opções foram contempladas. Proponha a organização das informações numa tabela de dupla entrada:

Posteriormente, conduza a discussão para a escrita matemática. É possível resolver o problema por 3 + 3 + 3 + 3, como também 4 + 4 + 4 ou pela multiplicação 4 x 3 ou 3 x 4, enquanto produto de medidas, pois são combos diferentes.

Se quiser ampliar o desafio, após a solução, aponte ser necessário acrescer no combo, alguns tipos de suco. É a inclusão de mais uma variável na representação.

ATIVIDADE 2

Orientações didáticas

organizar as crianças em grupos para que discutam as possibilidades e registrem os procedimentos adotados. Ressaltamos a importância do registro de processos e não somente dos resultados, pois revelam algumas das operações mentais mobilizadas.

O desafio está na organização dessa representação, pois não basta multiplicar o número de estudantes por 3, elas precisam perceber os grupos diferentes!

É possível que as crianças utilizem

desenhos para marcar os subconjuntos, inclusive identificando os nomes da turma; ou esquemas com marcações nos subconjuntos.

Após a socialização das ideias, cabe ao professor(a) instrumentalizar, construindo junto com os(as) estudantes, o diagrama de árvore como possibilidade de registro.

Em seguida, discutir com o grupo: esse registro pode ser escrito por meio de uma operação matemática?

Observação

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Alertamos ainda que a simples redução do texto desses problemas ao cálculo numérico não possibilita a compreensão das ideias subjacentes ao raciocínio multiplicativo. O mais importante nesse processo, é possibilitar aos estudantes dos anos iniciais do Ensino Fundamental, a discussão entre os pares, o registro simbólico, o debate das estratégias pessoais para validação dos diferentes procedimentos e caminhos. 

Referências bibliográficas

VERGNAUD, G. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da matemática na escola elementar. Curitiba: Ed. da UFPR, 2009.

Gostou de ler sobre o tema análise combinatória? Então saiba mais sobre o professor do presente e o ambiente virtual!

LEONORA PILON QUINTAS 

Professora com ampla experiência na docência da Educação Básica e Ensino Superior, incluindo a atuação como Gestora na Secretaria Municipal de Cubatão em São Paulo, com a implantação do Ensino Fundamental de 9 anos e o Ciclo de Alfabetização. Também atuou como gestora implementando a gerência de avaliação da aprendizagem no grupo Anima Educação. Por 20 anos, vem mediando o desenvolvimento profissional de professores em assessorias com temáticas sobre currículo, didática e avaliação.